Semigroup dan Monoid

materi kuliah hari ini adalah semigrup dan monoid. buat temen-temen yang mau baca definisi-nya atau mencoba latihan soalnya, check it out...

 

SEMIGRUP DAN MONOID

Grupoid merupakan operasi aljabar yang paling seederhana yang tersusun dari satu operasi biner saja dan tidak mempunyai syarat apa-apa. sedangkan semigrup merupakan grupoid yang memiliki satu syarat yaitu tertutup dan asosiatif dari operasinya.

Definisi

Suatu grupoid (G, * ) disebut semigrup jika berlaku .

Jadi semigrup adalah grupoid yang mempunyai sifat asosiatif.

Perlu diketahui bahwa sifat asosiatif dari suatu grupoid tidak dapat secara langsung dilihat dari daftar Cayley melainkan harus dicoba satu persatu.

Apabila pada semigrup ditambah dengan satu persyaratan yaitu terdapat unsur kesatuan maka terbentuklah suatu monoid. Hal ini dijelaskan dalam definisi berikut.

Definisi

Suatu semigrup yang memiliki unsur kesatuan (yaitu unsur kesatuan kiri/kanan) dinamakan monoid.

Untuk lebih memahami materi semigrup dan monoid perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1
Ambil suatu himpunan , kemudian dibangun himpunan kuasanya, yaitu:

dalam didefinisikan operasi D sebagai berikut
..................……….(1)
Tunjukkan bahwa merupakan monoid.

Bukti:
Untuk memudahkan pembuktian akan dibangun notasi yang berbeda yaitu:
notasi È untuk gabungan diganti dengan notasi + ,
notasi Ç untuk irisan diganti dengan ´ (kali) ,
notasi komplemen diganti dengan .
Perlu diingat hukum D’Morgan yaitu:
, dan

Sehingga definisi (1) menjadi

             
      
      
Ambil sebarang maka berlaku

                           
                           
Jadi bersifat komutatif.

Selanjutnya akan diselidiki apakah memenuhi sifat asosiatif
Ambil sebarang maka berlaku 

(definisi)
              (definisi)
              (definisi)
              (definisi)
             
              
              




(definisi)
               (definisi)
               (definisi)
               (definisi)
              
              
              
               (sifat komutatif terhadap penjumlahan)
               (sifat komutatif terhadap penjumlahan)
               (sifat komutatif terhadap perkalian)

Karena berarti memenuhi sifat asosiatif. Sehingga dapat disimpulkan merupakan semigrup.

Misalkan unsur kesatuan maka berlaku:
(definisi)
        

Karena bersifat komutatif maka merupakan unsur kesatuan kiri sekaligus kanan. Sehingga merupakan semigrup yang mempunyai unsur kesatuan dengan kata lain merupakan monoid.

Contoh 2
Ambil suatu himpunan , kemudian dibangun himpunan kuasanya, yaitu:

dalam didefinisikan operasi Ñ sebagai berikut
...............………(2)
Tunjukkan bahwa merupakan monoid.

Bukti:
Seperti pada Contoh 1.1 maka persamaan (2) dapat dituliskan dengan notasi lain yaitu:

      
      
      
      
      
      
      
      
      
      

Ambil sebarang maka berlaku
(definisi)
        (pergandaan bersifat komutatif)
       

Jadi bersifat komutatif.

Untuk pembuktian sifat asosiatif sesuai dengan langkah pada Contoh 1. Sehingga merupakan semigrup.

Misalkan S unsur kesatuan maka berlaku:
(definisi)
       

Karena bersifat komutatif maka S merupakan unsur kesatuan kiri sekaligus kanan. Sehingga merupakan semigrup yang mempunyai unsur kesatuan dengan kata lain merupakan monoid.






sumber : http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/semigrup.html